Ginásios Da Vinci · Aprendizagens Essenciais
Ensino Secundário

Aprendizagens Essenciais de Matemática B

11.º Ano

Última atualização: 30 de junho de 2026

Resumo

Matemática B do 11.º ano, em continuação do 10.º ano, aprofunda a formação matemática dos alunos do Curso de Artes Visuais com cinco temas. Em Taxa de Variação e Otimização, os alunos calculam e interpretam a taxa média de variação (declive da secante) e a taxa de variação instantânea (declive da tangente, obtida numericamente com Python), relacionam o sinal da taxa com a monotonia da função e resolvem problemas de otimização em contexto real. Em Probabilidade, estudam fenómenos aleatórios, modelos de probabilidade, frequências relativas, regra de Laplace, probabilidade da união, probabilidade condicionada, regra do produto, árvores de probabilidade, tabelas de contingência e acontecimentos independentes, com simulações em Python. Em Geometria Sintética, trabalham a semelhança de figuras (perímetros, áreas e escalas) e a geometria no espaço (volumes, áreas de superfícies, sólidos semelhantes e empacotamento). Em Distâncias Inacessíveis, aplicam a trigonometria a triângulos retângulos e obliquângulos (Lei dos Senos e Lei dos Cossenos) para calcular distâncias inacessíveis, num trabalho de projeto que inclui a construção de um teodolito caseiro. Em Matemática e Arte — tema exclusivo de Matemática B —, investigam as relações entre Matemática e produção artística: a perspetiva linear do Renascimento (Brunelleschi, Dürer), os poliedros na arquitetura (Gaudí, Zaha Hadid, Siza Vieira) e as proporções do Le Modulor de Le Corbusier, com trabalhos de pesquisa, maquetes e antropometria.

Conteúdos e temas

Taxa de Variação e Otimização

  • Taxa de variação — cálculo e interpretação
    • Variação entre dois pontos do domínio de uma função: cálculo e interpretação
    • Taxa média de variação entre dois pontos: cálculo, interpretação geométrica (declive da secante) e cálculo a partir do gráfico
    • Taxa de variação instantânea num ponto: cálculo numérico e interpretação geométrica (declive da tangente)
    • Relação entre o sinal da taxa de variação instantânea e a monotonia de uma função
    • Pensamento Computacional: programa Python para aproximação da taxa de variação instantânea de uma função polinomial de grau 3
  • Otimização — resolução de problemas
    • Monotonia de funções com recurso ao gráfico da função e ao gráfico da taxa de variação instantânea
    • Relação entre os zeros da taxa de variação instantânea e os extremos de uma função
    • Resolução de problemas com determinação de extremos de funções em contexto real
    • Resolução de problemas simples de modelação matemática com taxas de variação
    • Trabalho de projeto em Taxa de Variação e Otimização (opcional)

Probabilidade

  • Fenómeno aleatório e modelo de probabilidade
    • Distinção entre fenómeno aleatório e fenómeno determinístico
    • Experiência aleatória; espaço de resultados (espaço amostral) S; acontecimentos como subconjuntos de S
    • Modelo de probabilidade: resultados possíveis e probabilidade atribuída a cada resultado
    • Recordar: acontecimento certo, impossível, elementar, composto; acontecimentos disjuntos/mutuamente exclusivos; acontecimento contrário/complementar; união e interseção de acontecimentos
  • Probabilidade e regra de Laplace
    • Probabilidade frequencista: frequência relativa como aproximação da probabilidade (P(A) = limite de nA/n)
    • Probabilidade de acontecimentos elementares: valores entre 0 e 1 com soma total igual a 1
    • Probabilidade de um acontecimento = soma das probabilidades dos acontecimentos elementares favoráveis
    • Probabilidade da união: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
    • Acontecimentos equiprováveis e regra de Laplace: P(A) = nº de resultados favoráveis / nº de resultados possíveis
    • Pensamento Computacional: programa Python para simular lançamentos de um dado de n faces e calcular frequências relativas
  • Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes
    • Probabilidade condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), com P(B) > 0
    • Regra do produto: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)
    • Árvores de probabilidade para organizar informação sobre acontecimentos em cadeia
    • Tabelas de contingência para calcular probabilidades condicionadas
    • Acontecimentos independentes: P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B); equivalência com P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
    • Probabilidade total: P(B) = P(B|A₁)·P(A₁) + … + P(B|Aₙ)·P(Aₙ)

Geometria Sintética

  • Geometria no plano — semelhança
    • Noção de semelhança de figuras planas
    • Relação entre perímetros e áreas de figuras planas semelhantes
    • Utilização de escalas para o cálculo de perímetros e áreas (plantas, mapas)
    • Problemas históricos e aplicações contemporâneas da semelhança (Tales de Mileto, modelagem 3D, Google Maps, viagens espaciais)
  • Geometria no espaço — volumes, áreas e empacotamento
    • Visualização no espaço tridimensional
    • Cálculo de volumes e capacidades de sólidos geométricos e composições de sólidos
    • Cálculo de áreas de superfícies de sólidos
    • Relação entre volumes de sólidos semelhantes
    • Empacotamento: determinar a melhor solução de empacotamento de objetos num contentor
    • Trabalho de projeto em Geometria Sintética (opcional): pontos notáveis do triângulo, secções num cubo, sólidos platónicos e arquimedianos, poliedros estrelados, problemas de empacotamento

Distâncias Inacessíveis

  • Resolução de triângulos retângulos
    • Relações entre lados e ângulos de um triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente)
    • Formulação e resolução de problemas geométricos e da vida real com triângulos retângulos (sombras, alturas de edifícios)
  • Resolução de triângulos obliquângulos
    • Decomposição de triângulos não retângulos em triângulos retângulos
    • Lei dos Senos: aplicação na resolução de triângulos não retângulos
    • Lei dos Cossenos: aplicação na resolução de triângulos não retângulos
    • Problemas históricos da Trigonometria: Túnel de Samos, raio da Terra por Eratóstenes, altura da pirâmide do Egito, Manual Matemático da Ilha do Mar (Liu Hui), Observatório de Jantar Mantar
  • Determinação de distâncias inacessíveis e trabalho de projeto
    • Cálculo de distâncias inacessíveis com triângulos retângulos e obliquângulos
    • Visualização e raciocínio espacial; construção de modelos com medições e escalas
    • Projeto prático: determinação de distância inacessível com teodolito caseiro (transferidor, palhinha, fio de prumo)

Matemática e Arte

  • Atividades investigativas e comunicação matemática
    • Contributo da Matemática para a atividade artística ao longo da história
    • Pintores, escultores, designers e arquitetos que usaram a Matemática nas suas obras
    • Utilização da Matemática para analisar e interpretar obras de arte (pintura, escultura, design, arquitetura)
  • Matemática e Arte no Renascimento — perspetiva linear
    • Obra de Brunelleschi, Leon Battista Alberti, Piero della Francesca e Albrecht Dürer
    • Conceitos matemáticos da perspetiva linear: plano de tela, ponto de fuga, linha do horizonte, linhas de fuga, projeções e secções
    • Encontrar e representar os elementos da perspetiva linear em obras de arte do Renascimento
  • Matemática e arquitetura — poliedros
    • Obra de arquitetos: Rafael Leoz, Ricardo e Anna Bofill, Piet Blom, Richard Fuller, Arata Isozaki, Antoni Gaudí, Siza Vieira, Souto Moura, Philip Johnson, Zaha Hadid
    • Poliedros e conceitos geométricos nas obras de arquitetura
    • Elaboração de maquete com materiais recicláveis evidenciando os poliedros
  • Le Corbusier — proporções e Le Modulor
    • Conceitos matemáticos na obra de Le Corbusier: Le Modulor e proporções da figura humana
    • Repercussões no design de objetos ergonómicos
    • Trabalho de antropometria: recolha de medidas corporais, verificação de proporções e correlações, comparação com as propostas de Le Corbusier

Competências transversais

Resolução de problemas e modelação matemática: problemas de otimização, distâncias inacessíveis, empacotamento e Le Modulor — todos em contextos reais e artísticos; Pensamento Computacional: Python para cálculo numérico da taxa de variação instantânea e simulação de probabilidades (lançamento de dado de n faces); Recurso sistemático à tecnologia: calculadora gráfica, GeoGebra (geometria dinâmica e empacotamento), folha de cálculo, aplicações interativas para explorar sólidos e probabilidades; Raciocínio matemático: relacionar taxa de variação com monotonia e extremos; demonstrar relações em semelhança; encadear raciocínios em probabilidade condicionada; Comunicação matemática: trabalhos de pesquisa e projetos em Matemática e Arte — textos, maquetes, pósteres, vídeos, portefólios, exposições, apresentações digitais; Sensibilidade estética e artística: investigar relações entre Matemática e Arte (perspetiva linear do Renascimento, poliedros na arquitetura, Le Modulor); apreciar obras de arte com instrumentos matemáticos; Trabalho colaborativo e de projeto: trabalhos de grupo em Distâncias Inacessíveis, Geometria Sintética e Matemática e Arte; Articulação interdisciplinar: Física (taxas de variação), Economia (otimização), Desenho A e Artes Visuais (perspetiva, poliedros), Educação Física (antropometria); Aproximação aos cursos artísticos especializados e profissionais

Fonte oficial: Direção-Geral da Educação — Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º Ano (Ensino Secundário), Janeiro 2023 — consultar o documento original (PDF)

Perguntas frequentes

O que se estuda em Matemática B no 11.º ano?
Matemática B do 11.º ano organiza-se em cinco temas. Em Taxa de Variação e Otimização, estudam-se a taxa média de variação (declive da secante), a taxa de variação instantânea (declive da tangente, calculada numericamente com Python) e a resolução de problemas de otimização com recurso ao sinal da taxa. Em Probabilidade, introduzem-se os modelos de probabilidade, a regra de Laplace, a probabilidade da união, a probabilidade condicionada, a regra do produto, as árvores de probabilidade, as tabelas de contingência e os acontecimentos independentes. Em Geometria Sintética, trabalham-se a semelhança de figuras (perímetros, áreas e escalas) e a geometria no espaço (volumes, áreas de superfícies e empacotamento). Em Distâncias Inacessíveis, aplicam-se a trigonometria em triângulos retângulos e obliquângulos (Lei dos Senos e Lei dos Cossenos) para determinar distâncias inacessíveis. Em Matemática e Arte, investigam-se as relações entre Matemática e Arte na perspetiva linear do Renascimento, nos poliedros em arquitetura e nas proporções do Le Modulor de Le Corbusier.
Qual a diferença entre taxa média de variação e taxa de variação instantânea estudadas em Matemática B no 11.º ano?
A taxa média de variação de uma função f no intervalo [a, b] é o quociente (f(b) − f(a)) / (b − a), que corresponde geometricamente ao declive do segmento de reta (secante) que une os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) do gráfico. A taxa de variação instantânea num ponto x₀ é o limite da taxa média de variação quando b se aproxima de a — ou seja, é o declive da reta tangente ao gráfico nesse ponto. Em Matemática B (ao contrário de Matemática A, que usa o cálculo diferencial formalmente), o valor da taxa de variação instantânea é obtido numericamente com recurso à tecnologia: faz-se a taxa média num intervalo muito pequeno h (por exemplo h = 10⁻⁵) em torno do ponto. O programa Python fornecido no documento implementa exatamente este procedimento para funções polinomiais de grau 3.
O que é a probabilidade condicionada e como se calcula em Matemática B no 11.º ano?
A probabilidade condicionada P(A|B) é a probabilidade de o acontecimento A ocorrer, sabendo que o acontecimento B já ocorreu. Calcula-se por P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), desde que P(B) > 0. Da definição decorre a regra do produto: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B). As árvores de probabilidade organizam as probabilidades em cadeia (úteis quando os acontecimentos ocorrem sequencialmente, como extrações sem reposição) e as tabelas de contingência organizam a informação quando há duas características categóricas. Dois acontecimentos A e B são independentes se P(A|B) = P(A) — a ocorrência de B não altera a probabilidade de A — o que equivale a P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
O que é a lei dos senos e a lei dos cossenos estudadas em Matemática B no 11.º ano?
A Lei dos Senos estabelece que num triângulo com lados a, b, c e ângulos opostos A, B, C respectivamente: a/sen A = b/sen B = c/sen C. É útil para resolver triângulos quando se conhecem dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo oposto a um deles. A Lei dos Cossenos generaliza o teorema de Pitágoras: a² = b² + c² − 2bc × cos A. É útil quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados. Ambas as leis permitem resolver triângulos obliquângulos (sem ângulo reto) e são aplicadas no tema Distâncias Inacessíveis para calcular comprimentos e ângulos que não se podem medir diretamente, a partir de medições acessíveis no terreno.
O que é o tema Matemática e Arte em Matemática B no 11.º ano?
Matemática e Arte é um tema exclusivo de Matemática B que convida os alunos a investigar as relações entre a Matemática e as artes visuais. Estuda-se a perspetiva linear do Renascimento — as técnicas matemáticas (ponto de fuga, linha do horizonte, projeções) usadas por Brunelleschi, Alberti, Piero della Francesca e Dürer —, os poliedros na arquitetura de Gaudí, Zaha Hadid, Siza Vieira e outros, e as proporções matemáticas no Le Modulor de Le Corbusier (um sistema de proporções baseado nas medidas do corpo humano). Os alunos desenvolvem trabalhos de pesquisa e projetos — análise de obras, criação de réplicas, maquetes com materiais recicláveis, trabalho de antropometria — e comunicam os resultados em formatos variados (pósteres, vídeos, exposições, portefólios).
O que é o empacotamento estudado em Geometria Sintética de Matemática B no 11.º ano?
O empacotamento é um problema de otimização geométrica que consiste em determinar como colocar o maior número possível de objetos (esferas, caixas, cilindros, etc.) dentro de um contentor, minimizando o espaço desperdiçado. É um problema com aplicações diretas na logística, na embalagem de produtos, na arquitetura e no design. Em Matemática B do 11.º ano, este tema é introduzido no âmbito da Geometria no Espaço: os alunos calculam volumes e áreas de superfícies de sólidos, relacionam volumes de sólidos semelhantes, e determinam a melhor solução de empacotamento para situações concretas. O GeoGebra oferece páginas interativas para explorar diferentes configurações (empacotamento de círculos, de octógonos, etc.).

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