Aprendizagens Essenciais de Matemática A
11.º Ano
Última atualização: 30 de junho de 2026
Resumo
A disciplina de Matemática A no 11.º ano organiza-se em três grandes temas. Em Geometria, os alunos aprofundam a Trigonometria com ângulos generalizados, o círculo trigonométrico, o radiano, a redução ao primeiro quadrante e a fórmula fundamental, passando depois ao estudo das funções trigonométricas sen(x), cos(x) e tg(x) e à modelação de fenómenos periódicos com famílias do tipo f(x) = a + b·sen(c(x − d)). Estudam ainda o produto escalar de vetores no plano e no espaço, a perpendicularidade, o ângulo entre retas, e a equação cartesiana de planos, com problemas de posição relativa de retas e planos. Em Matemática Discreta, trabalham os princípios gerais de contagem (adição, multiplicação, fatorial, arranjos completos, permutações, arranjos simples, combinações e princípio do pombal), as sucessões definidas por termo geral e por recorrência (com programas em Python), e as progressões aritméticas e geométricas com as respetivas fórmulas da soma de n termos e o conceito de série geométrica convergente (|r| < 1). Em Funções, aprofundam o estudo das funções polinomiais (funções cúbicas e quárticas, divisão de polinómios pela regra de Ruffini / algoritmo de Horner, teorema do resto, multiplicidade de raízes, decomposição em fatores, equações e inequações polinomiais de grau superior a 2), as operações com funções, as funções racionais do tipo f(x) = a + b/(x − c) com assíntotas verticais e horizontais, e o cálculo diferencial (taxa média de variação, razão incremental, noção intuitiva de limite, derivada como declive da reta tangente, regras de derivação, sinal da derivada, teorema de Fermat e problemas de otimização). O Pensamento Computacional está presente em Python (sucessões por recorrência, divisão de polinómios) e o uso sistemático de tecnologia gráfica e GeoGebra atravessa todos os temas.
Conteúdos e temas
- Geometria — Trigonometria: revisão de métodos trigonométricos
- ângulos e arcos orientados e generalizados
- círculo trigonométrico
- seno, cosseno e tangente de ângulos generalizados
- radiano
- redução ao primeiro quadrante
- fórmula fundamental da trigonometria
- Geometria — Funções trigonométricas: sen(x), cos(x), tg(x)
- período, máximo, mínimo, amplitude, frequência
- fenómenos periódicos (marés, roda gigante, ondas sonoras)
- famílias f(x) = a + b·sen(c(x−d)) e g(x) = a + b·cos(c(x−d))
- modelação com tecnologia gráfica
- Geometria — Produto escalar: inclinação e declive de uma reta
- produto escalar de vetores no plano e no espaço (coordenadas em referencial ortonormado)
- relação com normas e cosseno
- perpendicularidade de vetores e retas (m₁·m₂ = −1)
- ângulo entre vetores e retas
- equação cartesiana de plano no espaço
- posição relativa de retas e planos
- distância de um ponto a um plano
- Matemática Discreta — Contagem: princípio da adição
- princípio da multiplicação
- fatorial
- arranjos completos
- permutações
- arranjos simples
- combinações
- princípio do pombal
- diagramas em árvore
- tabelas
- Matemática Discreta — Sucessões: termo geral
- definição por recorrência
- regularidades numéricas e pictóricas
- comportamento gráfico
- conjetura de Collatz
- Python para sucessões por recorrência
- Matemática Discreta — Progressões aritméticas e geométricas: definição pelo 1.º termo e razão
- soma de n termos de progressão aritmética (Gauss)
- soma de n termos de progressão geométrica (Sissa)
- sucessão aⁿ para a > 1 e 0 < a < 1
- série geométrica com |r| < 1 (soma finita)
- série geométrica com r > 1 (soma infinita)
- curva de Koch
- trabalho de projeto em sucessões (Fibonacci, número de ouro, número e, Paradoxos de Zenão, Torres de Hanói, Mersenne)
- Funções — Polinómios: funções cúbicas e quárticas
- zeros, monotonia, extremos, comportamento no infinito
- grau ímpar garante zero real
- divisão inteira de polinómios
- regra de Ruffini / algoritmo de Horner
- teorema do resto
- multiplicidade de uma raiz
- decomposição em fatores lineares e quadráticos
- equações e inequações polinomiais de grau superior a 2
- Python para valor de polinómio e coeficientes do quociente
- Funções — Operações com funções: adição, subtração, multiplicação e divisão de funções polinomiais de grau não superior a 4
- zeros e sinal de funções resultantes
- problemas de modelação
- Funções — Funções racionais: f(x) = a + b/(x−c)
- assíntota vertical
- assíntota horizontal
- comportamento nos infinitos e próximo da descontinuidade
- funções quociente de afins f(x) = (ax+b)/(cx+d)
- modelação (concentrações, custo médio, intensidade da luz)
- Funções — Cálculo diferencial: taxa média de variação
- razão incremental
- taxa de variação instantânea
- noção intuitiva de limite
- derivada como declive da reta tangente
- função derivada
- derivada de monómios (grau ≤ 3)
- regras de derivação (adição, subtração, multiplicação, divisão, potências com expoente natural)
- sinal da derivada e monotonia
- teorema de Fermat
- extremos
- otimização em contexto real
Competências transversais
Resolução de problemas e modelação matemática: contexto central para conexões entre temas e com outras áreas (Física — produto escalar e grandezas vetoriais; STEAM; navegação e topografia na trigonometria); Raciocínio e lógica matemática: dedução e demonstração (fórmula fundamental da trigonometria, teorema do resto, teorema de Fermat), formulação e validação de conjeturas, argumentação; Pensamento Computacional: Python para sucessões por recorrência (conjetura de Collatz) e para divisão de polinómios pelo algoritmo de Horner; folha de cálculo para exploração de sucessões e progressões; Recurso sistemático à tecnologia: AGD/GeoGebra e GeoGebra 3D (trigonometria, produto escalar, planos no espaço), calculadora gráfica e folha de cálculo (funções trigonométricas, polinomiais e racionais, derivadas); Comunicação matemática: múltiplas representações (gráfica, analítica, vetorial, tabular), relatórios e trabalhos de projeto; Trabalho colaborativo: trabalho em pares e pequenos grupos em tarefas exploratórias e no trabalho de projeto (Sucessões, Geometria ou Funções)