Aprendizagens Essenciais de Matemática A
10.º Ano
Última atualização: 30 de junho de 2026
Resumo
A disciplina de Matemática A no 10.º ano organiza-se em cinco grandes temas. Em Modelos Matemáticos para a Cidadania, os alunos estudam métodos eleitorais (maioria simples, maioria absoluta, método de Borda, método de Hondt e método de St. Laguë) e modelos financeiros (cálculo de salários, descontos para a Segurança Social, IRS com escalões e progressividade, juro simples e juro composto com capitalização anual e mensal). Em Estatística, aprofundam o estudo de dados univariados (histograma como diagrama de áreas, medidas de localização — média, mediana, moda, percentis — e medidas de dispersão — amplitude, amplitude interquartil, desvio padrão amostral) e introduzem os dados bivariados (diagrama de dispersão, coeficiente de correlação linear r, reta de regressão dos mínimos quadrados, variáveis perturbadoras). Em Geometria Sintética no Plano, estudam os quatro pontos notáveis do triângulo (incentro, circuncentro, ortocentro e baricentro, com demonstrações), a reta de Euler e a circunferência dos nove pontos. Em Funções, estudam a função afim, a função quadrática (transformações do gráfico de f(x)=x², fórmula resolvente, equações e inequações do 2.º grau), as funções definidas por ramos e a função módulo. Em Geometria Analítica no Plano e no Espaço com Vetores, trabalham referenciais cartesianos, ponto médio, distância, conjuntos de pontos (mediatriz, circunferência, esfera), vetores (norma, coordenadas, operações, colinearidade) e a equação vetorial da reta em articulação com a equação reduzida. O Pensamento Computacional está presente em todos os temas através de programas em Python.
Conteúdos e temas
Modelos Matemáticos para a Cidadania
- Modelos matemáticos nas eleições
- Maioria simples e maioria absoluta: identificar o vencedor de um processo eleitoral
- Método de Borda: boletins de preferência, transformar preferências individuais em decisão coletiva
- Limitações dos métodos eleitorais; transitividade e não-transitividade das escolhas
- Pensamento Computacional: programa Python para calcular maioria absoluta e verificar se um candidato a atingiu
- Modelos matemáticos na partilha
- Método de Hondt e método de St. Laguë: aplicar e comparar distribuições proporcionais
- Identificar vantagens e limitações de cada método
- Exploração com folha de cálculo: distribuição de mandatos em cenários nacionais
- Aplicação a outras situações de partilha proporcional (ex.: distribuição de computadores por departamentos)
- Modelos matemáticos em finanças
- Salários: calcular valor mensal, anual e por hora; distinguir salário bruto de salário líquido
- Contribuições obrigatórias para a Segurança Social; retenção na fonte para IRS
- IRS anual: escalões, progressividade, caráter provisório da taxa mensal de retenção na fonte
- Juro simples: fórmula j = Ci × r × n
- Juro composto anual: Cf = Ci × (1 + r)^n
- Juro composto mensal: Cf = Ci × (1 + r/12)^n, com n em meses
- Pensamento Computacional: programas Python para capitalização anual e mensal; folha de cálculo para depósitos a prazo
Estatística
- Problema estatístico e variabilidade
- Reconhecer o papel da Estatística em todos os campos do conhecimento
- Variabilidade como conceito-chave de um problema estatístico
- Formular questões estatísticas cuja resposta dependa da recolha de dados
- População, amostra e variável
- Identificar população, amostra e variável(is) em estudo num procedimento estatístico
- Fases de um procedimento estatístico: produção/aquisição de dados; organização e representação; interpretação
- Métodos de seleção de amostras; amostras enviesadas (por conveniência, por resposta voluntária)
- Recenseamento vs. sondagem; dimensão da amostra e representatividade
- Intuir que problemas com amostras não têm solução matemática única (verdadeiro/falso)
- Dados univariados — organização e representação
- Dados quantitativos discretos e contínuos
- Tabelas de frequências absolutas, absolutas acumuladas, relativas e relativas acumuladas
- Histograma como diagrama de áreas; classes com a mesma amplitude; efeito do número de classes no padrão visível
- Recordar: gráficos de barras, diagramas de caule-e-folhas e diagramas de extremos-e-quartis
- Medidas de localização: média (x̄), mediana (Me), moda(s) (Mo) e percentis (quartis como caso especial)
- Medidas de dispersão: amplitude, amplitude interquartil, desvio padrão amostral s (variância amostral s²)
- Propriedades das medidas: pouca resistência da média e do desvio padrão; soma dos desvios = 0; s = 0 ↔ todos os dados iguais; amplitude interquartil = 0 não implica ausência de variabilidade
- Efeito de transformações lineares (multiplicar por a, somar b) nas medidas de localização e dispersão
- Dados agrupados em classes: adaptar fórmulas para obter valores aproximados da média e do desvio padrão
- Quando preferir mediana e amplitude interquartil em vez de média e desvio padrão (presença de outliers)
- Pensamento Computacional: programas Python para calcular média, mediana, máximo, mínimo, desvio padrão e amplitude
- Dados bivariados
- Amostra de pares de dados para estudar a associação entre duas variáveis quantitativas
- Diagrama de dispersão (nuvem de pontos): forma, direção e força da associação linear
- Coeficiente de correlação linear r ∈ [−1, 1]: correlação positiva, negativa ou nula; cálculo com tecnologia
- Reta de regressão (mínimos quadrados): calcular com tecnologia quando a associação é aproximadamente linear
- Variável independente (explanatória) vs. variável dependente (resposta); assimetria na escolha da variável explanatória
- Influência de outliers no coeficiente de correlação e na reta de regressão (conjuntos de Anscombe)
- Usar a reta de regressão para inferir valores da variável resposta dentro do domínio dos dados
- Correlação não implica relação causa-efeito; variáveis perturbadoras
- Gráfico de linhas como caso particular do diagrama de dispersão (variável temporal)
- Trabalho de projeto em Estatística (*)
- Elaborar projeto completo: formulação do problema, planificação, recolha e análise de dados, conclusões
- Temas sugeridos: Censos 2021, cantina escolar, papel da mulher na sociedade, alterações climáticas, oceanos, distribuição mundial da população
- Divulgação em palestras, pósteres, vídeos ou outros suportes
Geometria Sintética no Plano
- Pontos notáveis do triângulo
- Incentro e circunferência inscrita (com demonstração)
- Circuncentro e circunferência circunscrita (com demonstração)
- Ortocentro
- Baricentro: as três medianas dividem o triângulo em seis triângulos equivalentes (com demonstração); distância do baricentro a cada vértice = 2/3 da mediana respetiva (com demonstração); baricentro como centro de massa (gravidade)
- Localizar pontos notáveis em triângulos equiláteros, isósceles, escalenos, acutângulos, retângulos e obtusângulos
- Reta de Euler e circunferência dos nove pontos
- Verificar a existência da reta de Euler: colinearidade de ortocentro, baricentro e circuncentro
- Relações métricas: distância ortocentro-baricentro = 2 × distância baricentro-circuncentro
- Circunferência dos nove pontos: centro = ponto médio do segmento circuncentro-ortocentro; raio = metade do raio da circunscrita
- Situações extremas com AGD: triângulo equilátero (quatro pontos notáveis coincidentes); triângulo retângulo (ortocentro no vértice reto); triângulo obtusângulo (circuncentro exterior ao triângulo)
Funções
- Generalidades acerca de funções
- Evolução histórica do conceito de função: tabelas numéricas (quadrados, cubos, raízes), tabelas trigonométricas de Ptolomeu/Copérnico, lançamento de projéteis
- Formas de representação: diagramas, tabelas, gráficos e expressões analíticas
- Domínio, conjunto de chegada, contradomínio, variável independente, variável dependente, objeto e imagem
- Função como relação de covariação; definição em ambientes gráficos (calculadora gráfica/GeoGebra) ou de programação (Python)
- Função afim
- Zeros, sinal e monotonia: estudo gráfico e analítico
- Relação entre representação algébrica e geométrica: declive e ordenada na origem
- Resolução de problemas em contextos de modelação
- Função quadrática
- Famílias de funções quadráticas: sentido das concavidades, eixo de simetria, contradomínio, zeros, sinal, monotonia e extremos
- Transformações do gráfico de f(x) = x²: f(x − a) (translação horizontal), f(x) + b (translação vertical), c · f(x) (dilatação vertical / reflexão); descrição com linguagem das transformações geométricas
- Dedução da fórmula resolvente para o cálculo dos zeros da função quadrática
- Resolver equações e inequações do 2.º grau em contextos de resolução de problemas
- Determinar expressões analíticas de funções quadráticas representadas graficamente
- Pensamento Computacional: programa Python para determinar os zeros de uma função quadrática (discriminante, duas soluções, uma solução, sem soluções reais)
- Funções definidas por ramos e função módulo
- Estudar funções definidas por ramos: domínio, contradomínio, interseções com os eixos e sinal em casos simples
- Modelação com funções definidas por ramos: escalões do IRS, faturas de água ou eletricidade, movimento de automóvel
- Função módulo como caso particular de função definida por ramos
- Pensamento Computacional: programa Python para calcular a imagem pela função módulo para um dado objeto
Geometria Analítica no Plano e no Espaço e Vetores
- Geometria analítica no plano
- Referenciais cartesianos ortogonais e monométricos no plano; coordenadas de pontos
- Transformados de pontos: reflexão de eixo vertical ou horizontal; meia-volta de centro na origem
- Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta; fórmula da distância entre dois pontos
- Conjuntos de pontos definidos por condições: retas verticais e não verticais; semiplanos; mediatriz; circunferência e círculo (equações reduzidas); conjunções e disjunções simples
- Determinar coordenadas do baricentro e do circuncentro de um triângulo a partir das coordenadas dos vértices
- Geometria analítica no espaço
- Referenciais cartesianos ortogonais e monométricos no espaço; coordenadas de pontos
- Coordenadas do ponto médio de um segmento; fórmula da distância entre dois pontos no espaço
- Conjuntos de pontos: planos paralelos aos planos coordenados; retas paralelas a um eixo; planos mediadores; superfície esférica e esfera (equações reduzidas)
- Vetores no plano e no espaço
- Vetores livres no plano e no espaço: norma; propriedades algébricas das operações com vetores
- Coordenadas de um vetor num referencial ortonormado; vetor como diferença de dois pontos
- Soma e diferença de vetores; produto de um escalar por um vetor; simétrico de um vetor — cálculo de coordenadas
- Colinearidade de dois vetores: relação entre coordenadas
- Coordenadas do ponto resultante da soma de um ponto com um vetor; cálculo da norma de um vetor pelas suas coordenadas
- Equação vetorial da reta e equação reduzida
- Reta definida por um ponto e um vetor diretor; escrever equação vetorial da reta no plano e no espaço
- Relação entre coordenadas do vetor diretor e o declive da reta; paralelismo de retas e colinearidade de vetores diretores
- Relação entre equação reduzida e equação vetorial da reta no plano; conversão entre as duas formas
- Pensamento Computacional: programa Python que determina a equação reduzida e uma equação vetorial de uma reta dados dois pontos
Competências transversais
Resolução de problemas e modelação matemática: contexto central para conexões entre temas e com outras áreas (STEAM, Física, Economia); Raciocínio e lógica matemática: dedução, formulação e validação de conjeturas, argumentação, demonstrações em Geometria Sintética; Pensamento Computacional: abstração, algoritmia e programação em Python (maioria absoluta, juro composto, zeros de função quadrática, função módulo, equação da reta); Recurso sistemático à tecnologia: AGD/GeoGebra, folha de cálculo, calculadora gráfica, simuladores online; Comunicação matemática: múltiplas representações (gráficas, analíticas, tabulares, vetoriais), relatórios e trabalhos de projeto; Trabalho colaborativo: trabalho em pares e em pequenos grupos em tarefas exploratórias e projetos